Çoxluqlar, ölçmə və statistika: saymaqdan ortaya qədər

Niyə lazımdır

Çoxluqlar qarışıq siyahıları ayırmağa kömək edir: kim hər iki dərnəkdədir, kim yalnız birindədir, cəmi neçə nəfər var. Statistika isə bir dəstə ədədi bir neçə göstəriciyə yığır. Məsələn, $1;2;3$ məlumatında $3$-ü $99$ ilə əvəz etsən, orta $2$-dən $34$-ə qalxır, median isə $2$ olaraq qalır. Bunu bilsən, qiymətlər cədvəlinə də, öz qiymətlərinə də başqa gözlə baxarsan.

İmtahanda bu tapşırıqlar adətən qısadır, amma bir sözə görə səhv cavab vermək asandır. Düsturu bilmək azdır. Şərtdəki hər sözə diqqətlə baxmaq lazımdır. Bu səhifə elə buna öyrədir.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Qayda

• Çoxluq daxilində element təkrar sayılmır. $a\in A$ elementin mənsubiyyətini, $n(A)$ element sayını bildirir; boş çoxluq üçün $n(\varnothing)=0$.
• Kəsişmə $A\cap B$ hər ikisinə daxil olanlardan, birləşmə $A\cup B$ isə ən azı birinə daxil olanlardan ibarətdir. Fərq $A\setminus B$ yalnız $A$-da qalanları göstərir.
• Sonlu çoxluqlarda $n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$. Həmçinin $n(A\cup B)=n(A\setminus B)+n(B)$. Eyler–Venn diaqramında əvvəl ortaq hissəni doldur, sonra yalnız bir çoxluğa aid hissələri hesabla.
• Alt çoxluq münasibətində $B\subseteq A$ olduqda $B$-nin bütün elementləri $A$-dadır və $A=B\cup(A\setminus B)$. $k$ elementli çoxluğun $2^k$ alt çoxluğu var; boş çoxluq və özü də sayılır. $n(A)$ və $n(B)$ sabitdirsə, kəsişmənin element sayı azaldıqca birləşmənin element sayı artır.
• Vahid çevirmə zamanı uzunluqdakı çevirmə əmsalını sahə üçün kvadrata, həcm üçün kuba yüksəlt: $1\,\text{m}^2=10000\,\text{sm}^2$, $1\,\text{m}^3=1000000\,\text{sm}^3$; $1\,\text{l}=1\,\text{dm}^3$.
• Mütləq xəta dəqiq $a$ ilə təqribi $b$ qiymətləri üçün $\Delta=|a-b|$; nisbi xəta $\delta=\Delta/|a|$-dır $(a\ne0)$. Faizlə ifadə üçün $100\%$-ə vur.
• Külliyyat araşdırılan bütün obyektləri, seçim onların araşdırmaya götürülən hissəsini əhatə edir. Sadə təsadüfi seçimdə eyni ölçülü hər mümkün qrupun seçilmə şansı bərabərdir.
• Tezlik qiymətin təkrarlanma sayıdır. $N=\sum f_i$ olduqda nisbi tezlik $f_i/N$, ədədi orta $\bar x=\sum x_i f_i/N$ olur. Dairəvi diaqramda sektor bucağı nisbi tezliyin $360^\circ$-yə hasilidir.
• Median sıralanmış məlumatın ortasındakı qiymətdir; say cütdürsə, ortadakı ikisinin ortasını götür. Moda ən çox təkrarlanan qiymətdir; bir neçə moda ola bilər. Ən böyük fərq maksimumla minimumun fərqidir.
• Dispersiya $\sigma^2=\sum f_i(x_i-\bar x)^2/N$, standart meyil $\sigma=\sqrt{\sigma^2}$ olur. Standart meylin böyüməsi qiymətlərin orta ətrafında daha çox səpələndiyini göstərir.
• Normal paylanma simmetrikdir; orta, median və moda üst-üstə düşür. $\bar x\pm\sigma$, $\bar x\pm2\sigma$, $\bar x\pm3\sigma$ intervallarına təxminən $68\%$, $95\%$, $99{,}7\%$ düşür.
• Histoqram ədədi məlumatı intervallarla göstərir; sütunları bitişikdir. Tezlik poliqonunda uyğun nöqtələr parçalarla birləşdirilir.
• Qutu-qulp diaqramı medianı və yayılmanı göstərir. Qutunun sərhədləri aşağı və yuxarı kvartillərdir; kvartillərarası fərq $Q_3-Q_1$ olur.

Tapşırıqlarda işlənən düsturlar

Nümunələr

Tipik səhv

“Yalnız” sözünü görəndə ortaq elementləri cavaba qatma: $4$ həm $A$-da, həm də $B$-dədir. Elementlərin sayı ilə cəmini də qarışdırma.

Statistikada da belə diqqət lazımdır: medianı tapmazdan əvvəl məlumatı sırala, tezlik cədvəlində ortanı hesablayarkən təkrarlanma saylarını nəzərə al.

Özünü yoxla