Riyaziyyat, Dördbucaqlılar və çoxbucaqlılar; Fiqurların sahəsi

Çoxbucaqlılar və sahə: bucaqlar, diaqonallar və düsturlar

Çoxbucaqlının bucaqlarını və diaqonallarının sayını tapmağı, paraleloqram, romb və trapesiyanın sahəsini hesablamağı öyrənəcəksən.

Oxu vaxtı: 4 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: altıbucaqlı boz keramik plitələrlə döşənmiş mətbəx döşəməsi.

Mətbəxin və ya hamamın döşəməsinə bax: plitələr çox vaxt kvadrat olur, bəzən də altıbucaqlı. Düzgün beşbucaqlı plitələrlə isə döşəməni boşluqsuz örtmək alınmır. Bunun səbəbi zövq deyil, bucaqlardır.

Bir nöqtədə görüşən plitələrin bucaqları birlikdə düz $360^\circ$ etməlidir. Kvadratın bucağı $90^\circ$ -dir, dörd plitə nöqtəni tam doldurur. Düzgün altıbucaqlıda bucaq $120^\circ$ -dir, üç plitə kifayətdir. Düzgün beşbucaqlıda isə $108^\circ$ -dir: üç plitə $324^\circ$ verir, dörd plitə $432^\circ$ . Ya boşluq qalır, ya da plitələr üst-üstə minir.

Bu bucaqları ölçmədən, bir düsturla tapmaq olur. Elə həmin düsturla da başlayırıq.

Niyə lazımdır

Sahə düsturları gündəlik işdə də lazım olur: otağa neçə plitə getdiyini, çərçivəyə nə qədər taxta lazım olduğunu, divarın boyanacaq hissəsini hesablayanda. İmtahanda düsturlar hesablamanı sürətləndirir, amma bəzi tapşırıqlarda əvvəlcə hündürlüyü tapmaq və ya tənlik qurmaq lazım gəlir.

Vaxt çox vaxt düsturda yox, fiqurun içindəki düzbucaqlı üçbucağı görməkdə itir. Rombda bu üçbucağı diaqonalların yarıları qurur, trapesiyada isə hündürlüyün böyük oturacaqdan ayırdığı parça. Onu görən kimi qalan işi Pifaqor teoremi görür.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

İmtahanda xarici bucaqdan tərəflərin və diaqonalların sayını müəyyənləşdirirsən, diaqonal sayı ilə tərəf sayı arasında əlaqə qurursan. Trapesiyanın perimetrindən sahəsinə keçmək, diaqonalların orta nöqtələri arasındakı məsafədən oturacağı hesablamaq da soruşulur. Paraleloqramda iki hündürlükdən sahəni, rombda isə perimetrdən diaqonalların kvadratları cəmini tapmağı bacarmalısan.

Qayda

Düzgün çoxbucaqlı həm tərəfləri, həm də daxili bucaqları bərabər olan çoxbucaqlıdır. Qabarıq $n$ -bucaqlıda daxili bucaqların cəmi $(n-2)\times180^\circ$ olur. Xarici bucaqları hər təpədə bir dəfə, eyni dolanma istiqamətində götürdükdə onların cəmi $360^\circ$ edir. Düzgün çoxbucaqlıda xarici bucaq $\beta=360^\circ/n$ , daxili bucaq $\alpha=180^\circ-\beta$ .
Diaqonal qonşu olmayan təpələri birləşdirir. Bir təpədən $n-3$ , bütövlükdə $D=n(n-3)/2$ diaqonal alınır; ikiyə bölmə hər diaqonalın iki dəfə sayılmasını aradan qaldırır.
Paraleloqram qarşı tərəfləri paralel olan dördbucaqlıdır. Qarşı tərəflər və qarşı bucaqlar bərabərdir, qonşu bucaqların cəmi $180^\circ$ -dir; diaqonallar bir-birini yarıya bölür. Düzbucaqlıda diaqonallar bərabərdir; rombda perpendikulyardır və bucaqları yarıya bölür. Kvadrat hər iki fiqurun xassələrini daşıyır.
Romb üçün tərəf $a=P/4$ və $d_1^2+d_2^2=4a^2$ olur. Sonuncu bərabərlik diaqonalların yarılarının yaratdığı düzbucaqlı üçbucaqda Pifaqor teoremindən alınır.
Trapesiya oturacaqları $a,b$ olduqda orta xətt $m=(a+b)/2$ , diaqonalların orta nöqtələri arasındakı məsafə $|a-b|/2$ olur. Bərabəryanlı trapesiyada yan tərəf $c$ olarsa, $a+b=P-2c$ .
Sahə düsturları: üçbucaqda $S=ah/2$ , paraleloqramda $S=ah=ab\sin\alpha$ , trapesiyada $S=(a+b)h/2$ , rombda $S=d_1d_2/2$ , düzbucaqlıda $S=ab$ , kvadratda $S=a^2$ . Burada $h$ seçilən oturacağa perpendikulyar hündürlükdür. Paraleloqramın iki hündürlüyü və aralarındakı $\varphi$ bucağı verilərsə, $S=h_1h_2/\sin\varphi$ .
Çevrə üzərində bütün təpələri yerləşən dördbucaqlıda qarşı bucaqlar birlikdə $180^\circ$ edir. Bütün tərəfləri daxildəki çevrəyə toxunan dördbucaqlıda qarşı tərəf cəmləri bərabərdir. Düzgün çoxbucaqlıda daxili çevrənin radiusu $r$ olarsa, $S=Pr/2$ .
Sektor üçün $S=\alpha\pi R^2/360^\circ$ , dairə üçün $S=\pi R^2$ . Kiçik seqmenti hesablamaq üçün uyğun sektordan iki radiusun və vətərin yaratdığı üçbucağın sahəsini çıx. Böyük seqment dairənin qalan hissəsidir. Mürəkkəb fiqurda üst-üstə düşməyən hissələrin sahələrini topla və ya kəsilən hissəni çıx.

Tapşırıqlarda işlənən düsturlar

Öyrənilməli düstur

S=\frac{(a+b)h}{2},\qquad a+b=P-2c

Bərabəryanlı trapesiyada $a,b$ oturacaqları, $c$ yan tərəfi, $h$ hündürlüyü, $P$ perimetri, $S$ sahəni göstərir; əvvəlcə perimetrdən oturacaqların cəmini müəyyən et. Sahə hesabında hündürlükdən istifadə et.

Öyrənilməli düstur

S=\frac{d_1d_2}{2},\qquad \left(\frac{d_1}{2}\right)^2+\left(\frac{d_2}{2}\right)^2=\left(\frac{P}{4}\right)^2

Burada $d_1,d_2$ rombun diaqonalları, $P$ perimetri, $S$ sahəsidir; diaqonalların yarıları katetlər, rombun tərəfi isə hipotenuz olan düzbucaqlı üçbucaq əmələ gətirir. Verilmiş nisbətə əsasən diaqonalları eyni dəyişənlə ifadə edib sahəni hesabla.

Öyrənilməli düstur

S=\frac{ah_a}{2},\qquad h_a=\frac{2S}{a}

$S$ üçbucağın sahəsi, $a$ seçilmiş tərəfi, $h_a$ həmin tərəfə uyğun hündürlükdür; eyni üçbucaqda daha uzun tərəfə daha qısa hündürlük çəkilir. Pifaqor bərabərliyini yoxlayıb sahəni katetlər vasitəsilə tap, sonra ən uzun tərəfə uyğun hündürlüyü hesabla.

Öyrənilməli düstur

n=\frac{360^\circ}{\beta},\qquad D=\frac{n(n-3)}{2}

Düzgün çoxbucaqlıda $\beta$ bir xarici bucağı, $n$ tərəflərin, $D$ isə diaqonalların ümumi sayını bildirir. Əvvəl bucaqdan tərəflərin sayını müəyyən et, sonra diaqonalları sayarkən hər birinin iki dəfə hesaba alınmasını aradan qaldır.

Öyrənilməli düstur

k=n-3,\qquad \Sigma=(n-2)\times180^\circ

Qabarıq çoxbucaqlıda $n$ təpələrin sayıdır, $k$ bir təpədən çıxan diaqonalları sayır, $\Sigma$ isə daxili bucaqların cəmini bildirir. Verilən diaqonal sayından $n$ -i müəyyənləşdirərək bucaqların cəmini hesabla.

Öyrənilməli düstur

\ell=\frac{a-b}{2}\quad(a>b)

Burada $a$ böyük, $b$ kiçik oturacağın uzunluğudur; $\ell$ isə trapesiyanın iki diaqonalının orta nöqtələrini birləşdirən parçanın uzunluğunu göstərir. Böyük oturacağı tapmaq üçün kiçik oturacağa bu parçanın ikiqat uzunluğunu əlavə et.

Öyrənilməli düstur

d^2=a^2+b^2\ \Longrightarrow\ (d-b)(d+b)=a^2,\qquad P=2(a+b)

Düzbucaqlıda $a,b$ tərəflərin uzunluqları, $d$ diaqonal, $P$ perimetrdir. $a$ məlum olduqda $a^2$ -nın müsbət tam vuruq cütlərini yoxla: $d-b$ ilə $d+b$ ya hər ikisi cüt, ya da hər ikisi tək olmalı, ikinci vuruq birincidən böyük olmalıdır.

Öyrənilməli düstur

D=\frac{n(n-3)}{2},\qquad \beta=\frac{360^\circ}{n}

Düzgün çoxbucaqlıda $n$ tərəflərin, $D$ diaqonalların sayıdır, $\beta$ isə bir xarici bucağın ölçüsüdür. Verilən say fərqini $D-n$ ilə ifadə edib tərəflərin sayını tap; yalnız ən azı üç olan tam qiymət uyğundur.

Öyrənilməli düstur

m=\frac{a+b}{2},\qquad P=2m+2c

Bərabəryanlı trapesiyada $a,b$ oturacaqları, $m$ orta xətti, $c$ hər yan tərəfi, $P$ perimetri göstərir. Yan tərəflə orta xətt arasındakı verilmiş əlaqəni perimetr düsturunda işlədərək bir dəyişənli tənlik qur.

Öyrənilməli düstur

S=\frac{h_1h_2}{\sin\varphi}

$h_1$ və $h_2$ paraleloqramın qonşu tərəflərinə aid hündürlüklər, $\varphi$ isə onların arasındakı bucaqdır. Bu ifadə $S=ab\sin\alpha$ , $h_1=b\sin\alpha$ , $h_2=a\sin\alpha$ və $\sin\varphi=\sin\alpha$ əlaqələrindən alınır; burada $a,b$ qonşu tərəflər, $\alpha$ onların arasındakı bucaqdır.

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}a=\frac{P}{4},\qquad d_2=2\sqrt{a^2-\left(\frac{d_1}{2}\right)^2}\\[6pt]S=\frac{d_1d_2}{2}\end{gathered}

$P$ rombun perimetri, $a$ tərəfi, $d_1,d_2$ diaqonalları, $S$ sahəsidir. Diaqonalların yarıları düz bucaq yaratdığı üçün naməlum diaqonalı Pifaqor teoremi ilə tap, sonra sahəni hesabla.

Öyrənilməli düstur

d_1^2+d_2^2=4a^2,\qquad a=\frac{P}{4}

$d_1,d_2$ rombun diaqonalları, $a$ tərəfi, $P$ perimetridir. Diaqonalların yarılarının yaratdığı düzbucaqlı üçbucaqda hipotenuz rombun tərəfi olduğundan Pifaqor teoremi bu bərabərliyi verir.

Öyrənilməli düstur

S=\frac{(a+b)h}{2}

$a,b$ trapesiyanın paralel tərəflərinin uzunluqları, $h$ isə onlar arasındakı məsafədir. Kiçik oturacağın uclarından hündürlüklər çəkərək alınan düzbucaqlı üçbucaqlara Pifaqor teoremini tətbiq et və tapdığın hündürlüyü sahə düsturunda işlət.

Öyrənilməli düstur

S=ah

$a$ paraleloqramda oturacaq seçilən tərəfin uzunluğu, $h$ həmin oturacağa perpendikulyar hündürlük, $S$ sahədir. Hündürlük uzun tərəfə aid olduğundan düsturda $a$ yerinə uzun tərəfin ölçüsünü yaz.

Öyrənilməli düstur

S=\frac{ab}{2}

$a$ və $b$ düzbucaqlı üçbucağın katetlərinin uzunluqları, $S$ onun sahəsidir. Katetlərdən birini oturacaq, digərini hündürlük qəbul edib onların hasilini ikiyə böl.

Öyrənilməli düstur

S=\frac{(a+b)h}{2}-uv

$a,b$ trapesiyanın oturacaqları, $h$ onların arasındakı məsafə, $u,v$ isə daxilindəki düzbucaqlı hissənin tərəfləridir. Mozaika çəkilən səth üçün trapesiyanın sahəsindən şüşəyə aid sahəni çıx.

Öyrənilməli düstur

S=ab-(a-2t)(b-2t)

$a,b$ xarici düzbucaqlının ölçüləri, $t$ bütün kənarlar boyunca çərçivənin sabit enidir, burada $2t<\min(a,b)$ . Xarici ölçülərin hər birindən çərçivənin ikiqat eni çıxıldığı üçün taxta hissənin sahəsi xarici və daxili düzbucaqlıların sahələri fərqindən tapılır.

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}h=\sqrt{c^2-\left(\frac{a-b}{2}\right)^2}\\[6pt]S=\frac{(a+b)h}{2}\end{gathered}

$a>b$ bərabəryanlı trapesiyanın oturacaqları, $c$ yan tərəfi, $h$ hündürlüyüdür. Kiçik oturacağın ucundan çəkilən hündürlük böyük oturacaqdan $(a-b)/2$ uzunluqlu kənar parça ayırır; əvvəlcə Pifaqor teoremi ilə hündürlüyü, sonra sahəni tap.

Öyrənilməli düstur

S=ab-c^2

$a,b$ masa səthinin xarici ölçüləri, $c$ isə səthin daxilindəki kvadrat oyuğun tərəfidir. Örtüyə aid sahəni hesablamaq üçün düzbucaqlının sahəsindən oyuğun sahəsini çıx.

Öyrənilməli düstur

S=ab-uv,\qquad N=\frac{S}{c^2}

$a,b$ altlığın, $u,v$ daxildə ayrılan düzbucaqlının ölçüləri, $c$ qabın kvadrat oturacağının tərəfi, $N$ qabların sayıdır. Qablar qalan hissəni boşluqsuz və üst-üstə düşmədən örtdüyü üçün həmin hissənin $S$ sahəsini bir qabın oturacağının sahəsinə böl.

Öyrənilməli qayda

Kvadratda diaqonal təpədəki düz bucağı iki bərabər hissəyə ayırır. Əvvəl düzbucaqlı üçbucaqda çatışmayan iti bucağı tap, sonra diaqonalın ayırdığı bucaqla onun fərqini hesabla.

Öyrənilməli qayda

Paralel xətləri kəsən tənbölən bərabər bucaqları olan üçbucaq yarada bilər; belə bucaqların qarşısındakı tərəflər də bərabərdir. Burada hər tənbölənin ayırdığı üçbucaqda yan tərəfi qarşı oturacağın uyğun parçasına bərabərləşdir, sonra perimetri hesabla.

Tərəflərin sayını dəyiş, bucaqlara bax

Sürgü ilə düzgün çoxbucaqlının tərəflərinin sayını seç. Bucaqlar və diaqonalların sayı dərhal yenidən hesablanır.

Nümunələr

Xarici bucağı

18^\circ

olan düzgün çoxbucaqlının diaqonallarını say:

n=360/18=20

D=20\times17/2=170

Bərabəryanlı trapesiyada $P=50$ sm, yan tərəf $13$ sm, hündürlük $12$ sm-dir. Sahəni tap: oturacaqların cəmi $50-2\times13=24$ sm, deməli, $S=24\times12/2=144$ sm².

Rombun perimetri $40$ sm-dir. Diaqonal kvadratlarının cəmini tap: $a=40/4=10$ sm olduğundan $d_1^2+d_2^2=4\times10^2=400$ sm².

Paraleloqramın hündürlükləri

4

sm və

6

sm, onların arasındakı bucaq isə

30^\circ

-dir. Paraleloqramın sahəsini tap.

Həllə bax

İki hündürlük və onların arasındakı bucaq verilib, deməli, $S=h_1h_2/\sin\varphi$ düsturu işləyir.
$\sin30^\circ=0,5$ olduğundan $S=4\times6/0,5=48$ sm².
Yoxlama: $h_2=a\sin\varphi$ olduğundan bir tərəf $a=6/0,5=12$ sm-dir. Bu tərəfə çəkilən hündürlük $4$ sm-dir, onda $S=12\times4=48$ sm².

$48$ sm²

Tipik səhv

Bərabəryanlı trapesiyada $a=12$ , $b=4$ , yan tərəf $5$ : orta xətt $m=(12-4)/2=4$ , sahə $S=4\times5=20$ .

Orta xətt $m=(12+4)/2=8$ -dir; $(12-4)/2=4$ isə diaqonalların orta nöqtələri arasındakı məsafədir. Hündürlük $h=\sqrt{5^2-4^2}=3$ olduğundan $S=8\times3=24$ .

Trapesiyanın orta xəttini diaqonalların orta nöqtələrini birləşdirən parça ilə qarışdırma: birində oturacaqların cəmi, digərində fərqi işlənir.

Sahədə maili yan tərəfi hündürlük yerinə götürmə: əvvəl perpendikulyarı müəyyənləşdir. Hündürlük həmişə maili yan tərəfdən qısadır.

Özünü yoxla

Qabarıq çoxbucaqlının bir təpəsindən $6$ diaqonal çəkilir. Daxili bucaqlarının cəmini tap.

Trapesiyanın orta xətti $9$ sm, diaqonallarının orta nöqtələri arasındakı məsafə $4$ sm-dir. Kiçik oturacağın uzunluğunu tap.

Rombun tərəfi $13$ sm, diaqonallarından biri $10$ sm-dir. Rombun sahəsini tap.

Mövzu sınağına keç

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif Mövzu üzrə sınaq, 9-cu sinif

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Dairə sektoru və seqmentin sahəsi», səh. 90
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Çoxbucaqlılar», səh. 118
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Qabarıq çoxbucaqlının daxili və xarici bucaqlarının cəmi», səh. 120
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Çevrənin daxilinə və xaricinə çəkilmiş çoxbucaqlılar», səh. 123
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Çevrənin daxilinə və xaricinə çəkilmiş dördbucaqlının xassələri», səh. 127
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Düzgün çoxbucaqlının daxilinə və xaricinə çəkilmiş çevrələr», səh. 129
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Düzgün çoxbucaqlının sahəsi», səh. 132
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, «Dördbucaqlılar», səh. 71
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, «Dördbucaqlının daxili və xarici bucaqları», səh. 72
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, «Paraleloqram», səh. 75
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, «Paraleloqramın növləri», səh. 79
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, «Paraleloqramın xassələrinin tətbiqi», səh. 83
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, «Üçbucağın orta xətti», səh. 85
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, «Trapesiya», səh. 86
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, «Trapesiyanın orta xətti», səh. 87
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, «Sahə aksiomları», səh. 116
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, «Paraleloqramın sahəsi», səh. 117
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, «Üçbucağın sahəsi», səh. 120
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, «Trapesiyanın sahəsi», səh. 123
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, «Rombun sahəsi», səh. 126
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, 2-ci hissə, 7.1 «Üçbucağın sahəsi», səh. 55
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, 2-ci hissə, 7.2 «Paraleloqramın və trapesiyanın sahəsi», səh. 59
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, 2-ci hissə, 7.3 «Dairə seqmenti və onun sahəsi», səh. 64
Dərslik: Riyaziyyat, 7-ci sinif, 1-ci hissə, 5.2 «Dördbucaqlılar», səh. 110
Dərslik: Riyaziyyat, 7-ci sinif, 1-ci hissə, 5.3 «Paraleloqram», səh. 114
Dərslik: Riyaziyyat, 7-ci sinif, 1-ci hissə, 5.4 «Paraleloqramın növləri. Düzbucaqlı, romb, kvadrat», səh. 118
Dərslik: Riyaziyyat, 7-ci sinif, 1-ci hissə, 5.5 «Üçbucağın orta xəttinin və medianlarının xassələri», səh. 122
Dərslik: Riyaziyyat, 7-ci sinif, 1-ci hissə, 5.6 «Trapesiya», səh. 126
Dərslik: Riyaziyyat, 6-cı sinif, 2-ci hissə, 8.1 «Üçbucağın sahəsi», səh. 81
Dərslik: Riyaziyyat, 6-cı sinif, 2-ci hissə, 8.2 «Paraleloqram və rombun sahəsi», səh. 83
Dərslik: Riyaziyyat, 6-cı sinif, 2-ci hissə, 8.3 «Çevrənin uzunluğu. Dairənin sahəsi», səh. 86
Dərslik: Riyaziyyat, 5-ci sinif, 2-ci hissə, 6.3 «Düzbucaqlı üçbucağın sahəsi», səh. 46
Dərslik: Riyaziyyat, 5-ci sinif, 2-ci hissə, 6.4 «Düzbucaqlı və düzbucaqlı üçbucaqdan təşkil olunmuş fiqurun sahəsi», səh. 49