Riyaziyyat, Birləşmələr nəzəriyyəsinin və ehtimal nəzəriyyəsinin elementləri

Birləşmələr və ehtimal: seçimləri say, şansı hesabla

Seçimləri saymağı, $A_n^k$ ilə $C_n^k$ -nı bir-birindən ayırmağı və ehtimalı əlverişli halların payı kimi tapmağı öyrənəcəksən.

Oxu müddəti: 3 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: masanın üstündə ekranı sönük telefon.

Telefonunun dördrəqəmli kodunu fikirləş. Hər yerə 10 rəqəmdən biri yazıla bilər, ona görə də kodların sayı $10\times10\times10\times10=10000$ -dir. Kimsə təsadüfən bir dəfə yoxlasa, düz kodu tapma ehtimalı $1/10000$ olur.

Rəqəmlər təkrarlanmasa, say $10\times9\times8\times7=5040$ -a düşür. Bu ədədləri tapmaq üçün kodları bir-bir yazmırsan, sadəcə vurursan.

Bu mövzu da elə bundan ibarətdir: əvvəl bütün seçimləri düzgün sayırsan, sonra əlverişli seçimlərin payını tapırsan. Sayma düz olanda ehtimal adi kəsrə çevrilir.

Niyə lazımdır

Sayma qaydaları məktəbdən kənarda da işə yarayır: neçə komanda qurmaq olar, neçə marşrut var, oyunda şansın nə qədərdir. Hamısı eyni bir neçə fikrə gəlib çıxır.

İmtahanda çətin olan adətən hesablama deyil, düsturu seçməkdir: sıra vacibdirmi, təkrar varmı, birbaşa saymaq rahatdır, yoxsa əks hadisəni çıxmaq. Bunu tez ayırd etsən, uzun sadalamaya vaxt itirmirsən.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

İmtahanda seçimlərin sayını hesablayır, verilən şərtə uyğun seçimlərin payını tapırsan. Bölünmə şərtlərinin birləşməsi, qruplardan müəyyən sayda obyekt seçilməsi, üçlükdə yalnız iki obyektin eyni qrupa aid olması soruşulur. Bəzən əlavə məlumat mümkün seçimləri məhdudlaşdırır; onda şərti ehtimal hesablamalısan.

Qayda

Sayma: ardıcıl mərhələlərin hər birində seçim sayı sabitdirsə, sayları vur; kəsişməyən alternativ halların saylarını topla.
Yerdəyişmə: $n$ müxtəlif elementi sıralamaq üçün $n!$ üsul var. Burada $n!=1\times2\cdots n$ , $0!=1$ . Eyni növdən olan elementlərin sayları $n_1,\ldots,n_r$ olduqda təkrarlı permutasiyaların sayı $\dfrac{n!}{n_1!\cdots n_r!}$ olur; $n_1+\cdots+n_r=n$ .
Yerləşdirmə: təkrarsız seçimdə sıra əhəmiyyətlidirsə, $A_n^k=\dfrac{n!}{(n-k)!}$ . Sıra əhəmiyyətsizdirsə, kombinezon işlət: $C_n^k=\binom nk=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ , $0\le k\le n$ .
Elementar nəticə sınağın ayrıca nəticəsidir; hadisə belə nəticələrdən ibarətdir. Eyniimkanlı $N$ nəticədən $m$ dənəsi $A$ üçün əlverişlidirsə, $P(A)=m/N$ . Həmişə $0\le P(A)\le1$ ; mümkün olmayan hadisənin ehtimalı sıfır, yəqin hadisəninki birdir.
Nisbi tezlik hadisənin müşahidə olunan sayının sınaqların sayına nisbətidir; nəzəri ehtimalla mütləq üst-üstə düşmür.
Birləşmə $A\cup B$ hadisələrdən azı birinin, kəsişmə $A\cap B$ hər ikisinin baş verməsidir. $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ . Uyuşmayan hadisələrdə kəsişmə boşdur. Əks hadisə üçün $P(\overline A)=1-P(A)$ .
Şərti ehtimal: $P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$ , $P(B)>0$ . Eyniimkanlı nəticələri sayarkən məxrəcdə yalnız $B$ şərtini ödəyənləri saxla.
Asılı olmayan hadisələr üçün $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ . Ümumi halda $P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A)$ , $P(A)>0$ .
Binomial açılış: $(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}C_n^ka^{n-k}b^k$ . Burada $n$ mənfi olmayan tam ədəddir; $(k+1)$ -ci hədd $C_n^ka^{n-k}b^k$ olur.
Bernulli sınaqları: müstəqil sınaqların hər birində uğur ehtimalı eyni $p$ olduqda $n$ sınaqda məhz $k$ uğurun ehtimalı $C_n^kp^k(1-p)^{n-k}$ olur.

Tapşırıqlarda işlənən düsturlar

Öyrənilməli düstur

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)

$A$ və $B$ ayrı-ayrı bölünmə şərtlərini, $A\cap B$ isə hər ikisini ödəyən nəticələri bildirir. Hər iki bölənə bölünən ədədlər iki dəfə sayıldığı üçün onların ehtimalını cəmdən bir dəfə çıx.

Öyrənilməli düstur

N=n_1\times n_2\cdots n_k

Əvvəlki seçimlərin hər biri üçün növbəti mərhələdə seçim sayı eynidirsə, ümumi say $N$ mərhələlərdəki $n_1,\ldots,n_k$ seçim saylarının hasilidir. Qələm seçərkən ilk gün bütün qələmlərdən, sonrakı günlərdə isə əvvəlki gün işlədilməyən qələmlərdən istifadə edə bilərsən.

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}P(A)=1-P(\overline A)\\[6pt] C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}\end{gathered}

$\overline A$ hadisəsi $A$ -nın baş verməməsini, $C_n^k$ isə $n$ müxtəlif obyektdən sıra nəzərə alınmadan $k$ obyekt seçilməsinin sayını göstərir. Hasilin tək olması üçün iki kart da tək ədəd daşımalıdır; belə cütlərin sayını bütün cütlərin sayına bölüb alınan ehtimalı vahiddən çıx.

Öyrənilməli düstur

C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!},\qquad P(A)=\frac{m}{N}

8 tapşırıqda

$C_n^k$ sırasız seçimlərin sayıdır; eyniimkanlı seçimlərdə $m$ hadisəyə uyğun seçimlərin, $N$ isə bütün seçimlərin sayıdır. Hər rəng üçün cüt seçməyin sayını digər rənglərdəki nişanların ümumi sayına vur, alınan hasilləri topla və bütün üçlüklərin sayına böl.

$C_n^k$ sırasız seçimlərin sayıdır; eyniimkanlı seçimlərdə $m$ əlverişli heyətlərin, $N$ isə bütün heyətlərin sayını bildirir. Hər dərnəkdən cüt seçməyin sayını həmin dərnəyə getməyən namizədlərin sayına vur, hasilləri topla və bütün üçnəfərlik heyətlərin sayına böl.

$C_n^k$ sırası nəzərə alınmadan $n$ müxtəlif obyektdən $k$ dənəsinin seçilmə sayıdır; $N$ eyniimkanlı seçimlərin ümumi, $m$ isə əlverişli seçimlərin sayıdır. Sahə şərtindən hər rəng üzrə lazım olan paket sayını müəyyənləşdir və rənglər üzrə seçim saylarını vuraraq $m$ -i tap.

$C_n^k$ sıra nəzərə alınmadan $n$ müxtəlif obyektdən $k$ dənəsini seçmək üsullarını sayır; $N$ bütün eyniimkanlı seçimlərin, $m$ isə əlverişli seçimlərin sayıdır. Qarışıq rəngli üçlükləri ağ daşın tək olduğu və göy daşın tək olduğu hallara ayır, hər hal üçün rənglər üzrə seçim saylarını vur və alınan iki sayı topla.

$C_n^k$ sırası əhəmiyyətsiz olan $k$ elementli seçimləri $n$ müxtəlif obyekt üçün sayır; $N$ bütün eyniimkanlı seçimlərin, $m$ isə əlverişli seçimlərin sayıdır. Sarı paketin tək olduğu və göy paketin tək olduğu üçlükləri ayrıca say: hər halda rənglər üzrə seçim saylarını vur, sonra bu iki halın saylarını topla.

$C_n^k$ ilə $n$ müxtəlif obyektdən sırası əhəmiyyətsiz olan $k$ elementli seçimlərin sayı göstərilir; $m$ əlverişli seçimləri, $N$ bütün eyniimkanlı seçimləri sayır. Eyni rəngli cüt həm sarı, həm də göy ola bildiyindən hər hal üçün cütün seçim sayını digər rəngdəki lövhələrin sayına vur və nəticələri topla.

Öyrənilməli düstur

C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!},\qquad N=C_a^r\times C_b^s

$C_n^k$ müxtəlif $n$ üzvdən sırasız $k$ üzv seçiminin sayıdır; ayrı $a$ və $b$ nəfərlik qruplardan uyğun olaraq $r$ və $s$ üzv seçildikdə seçim sayları vurulur. Skripkaçıların və pianoçuların hər birindən cüt seçib bu iki sayın hasilini hesabla.

Öyrənilməli düstur

P(A)=\frac{m}{N}

Bərabər ehtimalla seçilən $N$ nəticədən $m$ -i $A$ hadisəsinə uyğundursa, ehtimal bu sayların nisbətidir. Əvvəl bərabərsizliyin tam həllərini müəyyən et, məxrəci sıfır edən qiyməti çıxar və mənfi olmayan həllərin sayını bütün tam həllərin sayına böl.

Öyrənilməli düstur

C_n^2=\frac{n(n-1)}{2},\qquad P(A)=\frac{ab}{C_{a+b}^{2}}

5 tapşırıqda

İki rəngdən uyğun olaraq $a$ və $b$ kart varsa, eyniimkanlı cütlər arasından müxtəlif rəngli cüt seçilməsi $A$ hadisəsidir: əlverişli cütlər $ab$ , bütün cütlər isə $C_{a+b}^{2}$ saydadır. Naməlum kart sayını dəyişənlə göstər, ehtimalı verilmiş qiymətə bərabərləşdir və kökləri say məhdudiyyəti ilə yoxla.

$a$ və $b$ iki rəng üzrə düymələrin sayını, $A$ isə müxtəlif rəngli cüt götürülməsini bildirir; hər cüt eyni ehtimalla seçilir. Bir düyməni hər rəngdən seçməklə alınan $ab$ cütün sayını bütün sırasız cütlərin sayına böl.

Öyrənilməli düstur

P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\qquad P(B)>0

5 tapşırıqda

$B$ ədədin cüt, $A$ isə beşə bölünən olmasıdır; $B$ məlum olduqda seçim yalnız cüt ədədlər arasında aparılır. Cüt ədədləri son rəqəmə görə say, ilk rəqəmin sıfır olmamasını və təkrarsızlığı nəzərə al, sonra beşə bölünən cüt ədədlərin sayını həmin ümumi saya böl.

$B$ ekologiya layihəsinin seçilməsi, $A$ isə bütün sahələrin təmsil olunmasıdır; $A$ baş verdikdə $B$ də baş verir. Şərtə uyğun üçlükləri tapmaq üçün bütün üçlüklərdən ekologiyasız üçlükləri çıx, hər sahədən bir layihə seçiminin sayını isə alınan saya böl.

$B$ hər iki rəngin təmsil olunduğu seçimləri, $A$ isə göy qabların cüt olduğu seçimləri bildirir. Eyniimkanlı seçimlərdə şərti ehtimalı tapmaq üçün həm $A$ -ya, həm də $B$ -yə daxil olan seçimlərin sayını yalnız $B$ -dəki seçimlərin sayına böl.

Öyrənilməli düstur

N=\frac{n!}{n_1!\times n_2!\cdots n_k!},\qquad n_1+\cdots+n_k=n

$n$ düzüləcək elementlərin ümumi sayı, $n_i$ isə hər növdən bir-birindən seçilməyən elementlərin sayıdır; $N$ müxtəlif düzülüşləri sayır. İlk rəqəmi sabitləşdirdikdən sonra həm ümumi sayı, həm də həmin rəqəmin təkrar sayını bir vahid azaldıb düsturu qalan rəqəmlərə tətbiq et.

Öyrənilməli düstur

P(A)=1-P(\overline A)=1-\frac{C_m^k}{C_n^k}

$n$ ümumi şagird sayı, $m$ oğlanların sayı, $k$ komandanın ölçüsü olduqda $A$ komandada qızın olması, $\overline A$ isə komandanın yalnız oğlanlardan qurulmasıdır. Eyniimkanlı komanda seçimlərində əvvəlcə yalnız oğlanlardan ibarət komandanın ehtimalını hesabla və vahiddən çıx.

Özün say

Hər sualda əvvəl düşün: sıra vacibdirmi, təkrar varmı? Sonra cavabı yaz.

Nümunələr

1–24 arasından bərabər ehtimalla seçilən tam ədədin 3-ə və ya 8-ə bölünməsi ehtimalını tap. Uyğun saylar 8 və 3-dür; 24 hər ikisinə daxildir. Buna görə

P=(8+3-1)/24=5/12

Qutudakı 3 ağ, 2 qara, 1 yaşıl kürədən üçü seçilir. Bütün üçlüklər eyniimkanlıdır. Məhz ikisinin rəngi eyni olsun. Ağ cüt üçün $C_3^2\times3=9$ , qara cüt üçün $C_2^2\times4=4$ seçim var. Yaşıl cüt mümkün deyil. Beləliklə, $P=(9+4)/C_6^3=13/20$ .

Həmin seçimdə yaşıl kürənin götürüldüyü məlumdursa, bütün rənglərin təmsil olunma ehtimalını tap. Yaşıl kürə sabitdir, qalan iki kürə $C_5^2=10$ üsulla seçilir. Ağ və qara seçmək üçün $3\times2=6$ imkan var: $P=6/10=3/5$ .

Tipik səhv

4 ağ, 3 qara kürədən üçü seçilir, məhz ikisi ağ olsun: $C_4^2\times C_5^1=6\times5=30$ .

Üçüncü kürə yalnız qaralardan götürülür: $C_4^2\times C_3^1=6\times3=18$ , onda $P=18/C_7^3=18/35$ .

“Məhz iki” şərtində üçüncü obyekti cütün qrupundan götürmə: qalan 5 kürənin ikisi ağdır, buna görə üç ağlı üçlüklər də sayılır, özü də hər biri üç dəfə.

Surətdə və məxrəcdə eyni sayma üsulunu saxla (burada ikisi də sırasızdır); “ən azı bir” üçün heç birinin seçilmədiyi halı çıxmaq rahatdır, qaytarılmadan seçimdə isə ehtimallar dəyişdiyindən Bernulli düsturunu tətbiq etmə.

Özünü yoxla

5 müxtəlif həndəsə və 4 müxtəlif cəbr tapşırığından hər bölmə üzrə 2 tapşırıq seçirsən. Seçim sırası nəzərə alınmır. Neçə fərqli seçim var?

$P(A)=\dfrac12$ , $P(B)=\dfrac13$ və $P(A\cap B)=\dfrac16$ olarsa, bu hadisələrdən azı birinin baş vermə ehtimalını tap.

1-dən 18-ə qədər tam ədədlərdən birini bərabər ehtimalla seçirsən. Seçilən ədədin 3-ə bölündüyü məlumdursa, onun cüt olması ehtimalı nədir?

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et, hər birinin izahını oxu.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 11-ci sinif, «Təsadüfi hadisələr və ehtimal», səh. 278
Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Binomial açılış», səh. 293
Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Bernulli sınaqları», səh. 297
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Birləşmələr», səh. 228
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Permutasiya-yerdəyişmə, nPn», səh. 229
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Təkrarlı permutasiyalar», səh. 230
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Permutasiya-yerləşdirmə, nPk», səh. 231
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Kombinezon, nCk», səh. 233
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Ehtimalın hesablanmasına aid məsələ həlli», səh. 235
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, «Ehtimalın hesablanması», səh. 218
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, «Asılı olmayan və asılı hadisələr», səh. 222
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, 2-ci hissə, 9.3 «Hadisələrin birləşməsi və kəsişməsi», səh. 105
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, 2-ci hissə, 9.4 «Asılı olmayan hadisələr», səh. 108
Dərslik: Riyaziyyat, 7-ci sinif, 2-ci hissə, 10.1 «Hadisənin tezliyi», səh. 99
Dərslik: Riyaziyyat, 7-ci sinif, 2-ci hissə, 10.2 «Elementar hadisə», səh. 103
Dərslik: Riyaziyyat, 7-ci sinif, 2-ci hissə, 10.3 «Uyuşmayan hadisələr», səh. 106
Dərslik: Riyaziyyat, 6-cı sinif, 2-ci hissə, 9.2 «Təsadüfi hadisə», səh. 105
Dərslik: Riyaziyyat, 6-cı sinif, 2-ci hissə, 9.3 «Hadisənin ehtimalı», səh. 108